一、平面三圆问题1
问题：平面上三圆两两相交于六点。试证明三条公共弦共点。
证明：把这三个圆想像为三个球的大圆。为方便叙述，我们把三个球的球心确定的平面记作 α。显然，平面 α 在三个球上的截面就是题目的这三个大圆，而 α 上的三个大圆的三条公共弦即是每两个球之间的公共小圆在 α 上的投影。我们要证明的就是三个公共小圆在平面 α 上的投影共点。注意到三个球交于两点，这两点关于平面 α 对称且这两点就是三个公共小圆的交点。把这两点也投影到平面 α 上，得证。
二、平面三圆问题2
问题：在平面三个圆中，任意两个圆都有两条公切线且两条公切线交于一点。显然，这样的点有三个。试说明这三点共线。
证明：在这个平面的三个圆上放三个球，每个球的半径都等于它底下的那个圆的半径。显然，这个平面是这三个球的一个公切面。再把公切线想像成这三个球确定的三个圆锥的母线在平面上的投影。显然三个圆锥的顶点都在这个平面上，且这三个顶点就是待证共线的三点。这三点是显然共线的，因为我们可以在三个球上找到另一个公切面（想像一块玻璃板从上面盖下去），那么这个切面上也包含了三个圆锥的顶点，而这两个切面的交线是唯一的一条直线。
三、四人旅行问题
问题：平面上四条直线，任两条不平行，任三条不共点。四个旅行者 A、B、C、D 分别匀速地走在这四条直线上（他们的速度可以不相同）。若 A 在行走过程中与 B、C、D 相遇，B 在行走过程中与 C、D 相遇（当然也遇见了 A），求证：C、D 在行走过程中相遇。
证明：作垂直于平面的直线作为时间轴，建立三维直角坐标系。由于四人均匀速行走，因此他们的路程-时间图像是线形的。我们可以在空间中作出 A、B、C、D 四个人行走路程与时间关系的图像并分别命名为 La、Lb、Lc、Ld。这样，我们可以从这四条空间直线中轻易判断某一时刻四人的位置。例如，空间中 P 点 (x, y, t)在直线 Lc 上，则表明在 t 时刻 C 走到了平面(x, y)位置。好，现在强了，真的强了。A、B 不是曾经相遇过吗？这就是说，La 和 Lb 相交。这两条相交直线可以确定一个平面。C 不是与 A、B 都相遇过吗？那就是说，Lc 与 La、Lb 都相交。于是，Lc 也在这个平面上。同样地，Ld 也在这个平面上。既然全部都共面了，Lc、Ld 必然会相交，即 C、D 必相遇。得证。
四、三角形对称问题
问题：平面上任意三角形 ABC 和异于 A、B、C 三点的点 P。 X、Y、Z 三点分别是 P 点关于三边 BC、AC、AB 的中点的对称点。求证：AX、BY、CZ 共点。
证明：考虑空间中一点 P' 使 PP' 垂直于平面 ABC。作出 X'、Y'、Z' 关于三边 BC、AC、AB 的中点对称。可以得到，点 A、B、C、P'、X'、 Y'、Z' 是一个平行六面体的顶点。AX'、BY'、CZ' 是三条体对角线，他们显然共点。这个证到了有什么用呢？把这几个带了一撇的点全部投影到平面 ABC 上，结论就证到了。
有没有把空间几何问题辅助线做到4维去的？
回复：这个……值得思考
四维我连想象都想象不出哎~估计只会越搞越麻烦……
太妙了。恕我考古。
下面谈谈平几做法。
1.根轴定理—-根心定理。MO直接用。
证明可用差幂定理，即到两点间距离平方和的点的轨迹是一条垂直于这两点连线的直线。
2.笛沙格定理。两个三角形是 圆心三角形 与 外围的公切线交点组成的三角形。
3.不会。
4.想了一会儿呢。[idea]
作三角形ABC位似变换，位似中心为p，位似比为1:2，变为A1B1C1。
显然，X,Y,Z分别在B1C1,C1A1,A1B1上。
连XY,YZ,ZX, 易知三角形XYZ与三角形ABC全等，
且XY//AB,YZ//BC,ZX//CA。
那么三角形XYZ必可由三角形ABC旋转180度得到。
那么AX,BY,CZ交于旋转中心。
（此布亦可用扩展的第沙格定理。两个三角形对边平行，交于无穷远点，而所有无穷远点
共线，故三顶点连线交于一点。）
ps：4.（接第三句话） 且X,Y,Z分别为B1C1,C1A1,A1B1中点。
唉，太差了。
These moss-skinned trolls could regenerate lost limbs and heal grievous physical injuries, but they proved to be a barbaric, wow goldwow goldwow gold
evil race. wow goldThe Amani empire stretched across most of northern Lordaeron, and the trolls fought hard to keep unwanted strangers frowow goldm their borders. The elves developed a deep loathing for the vicious trolls and killed them on sight whenever they were encountered.
对这4种证法十分崇拜。。
强大，无敌。。
尤其膜拜一下第3题的那个方法。。
3周年考古～
继续考古
这些证法太强了……
继续考古，真是厉害，这样都想的到！
你老厉害了~~我们用平几快证死了的题。。。。。。
居然2006年的文章我才刚刚注意到 强大 十分强大
第3题证法MS有漏洞……
原话：
La和Lb相交。这两条相交直线可以确定一个平面。C不是与A、B都相遇过吗？那就是说，Lc与La、Lb都相交。于是，Lc也在这个平面上。
我的想法：
可是，万一La,Lb,Lc交于一点呢？
14楼,你说的情况更简单了,题目已经说任三条不共点了,呵呵
对这4种证法十分崇拜。。
强大，无敌。。yaourtière
尤其膜拜一下第3题的那个方法。。
这里有人讨论到Desargues定理, 太好了.
我做个广告先: 原来的笛沙格定理涉及的Desarguesian configuration都是可以这样描述的, ABC-S-A’B’C'(不论空间, 还是平面);
但是我发现其实这个定理可以推广到对: ABCD-S-A’B’C’D’, 乃至ABCDE-S-A’B’C’D’E’ 及更高维数都成立;
如果利用”齐次坐标”解析表达, 这些证明都可以脱离了辅助线进行.
共点和共超平面(二维空间时, 超平面为线)对偶.
基于这种推广, 进一步发现, 初等矩阵 和 某个变换(stereohomology)具有一一对应关系, 而且它们涵盖了好多几何变换, 尤其是图形学中常用的.
google: stereohomology可以找到这个资料: http://www.newsmth.net/att.php?p.50.48793.475.pdf
来挖坟 第4题的常规证法也很简单,设AB,BC边中点为D,E,则AC(平行且相等)0.5DE(平行且相等)ZX,于是AZXC是平行四边形,对角线平分,同理就证出来了
不过第一题和第二题的原理我还没想明白这种空间证法是在什么地方隐含了圆幂定理的
第三题的证法很强,普通证法很繁琐的样子
如何证明“=”引号里的两条线不平行？
问题三
CD不能是平行线么？
我也来考古了……
海伦定理的四维证明：
http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/02/herons_formula.html
对于第一个题目，好像疏忽了一个小问题。如果平面那三个圆没有你作的图交的那么“近”，就是“两两互交但为 挤 在一起”，此时如若把他们当做空间球体的大圆，会导致三个球体并未交到上下对称的两个点“中间是空的、通的”此时就无法使那两个点投影了。
我想的这种情况下的解决办法是：不把这三个圆当空间球体的大圆，当小圆，可在其下方取得大圆，总可以取得一平面为大圆所在平面使得三个大圆为以讨论情况，而因为小圆面与大圆面的平行及共属于同球，则结论对于小圆也成立，则对于该情况成立。得证。
第三题的解法太神了……
Congratulations. We re satisfied with the calibre of the data furnished. I have high hopes that you continue with the first-rate work conducted.
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“平面三元问题二”证明错误了，这样的球可能不存在，应构建3个等顶角的圆锥，详见Peter Winker的《令人苦思冥想的数学趣题》人民邮电版社
“平面三元问题二”证明错误了，这样的球可能不存在，应构建3个等顶角的圆锥，详见Peter Winker的《令人苦思冥想的数学趣题》
“平面三元问题二”证明错误了，这样的球可能不存在，应构建3个等顶角圆锥，详见Peter Winker的《令人苦思冥想的数学趣题》
对了，评论加载太慢
2006年我都才读初二。嘿嘿。
时光荏苒，现在是2014年6月10日
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9月5日，上周非农数据公布后，结果远不如 粤国际微盘 预期，降低了加息概率，今日白银开盘后维持震荡行情，整体行情极不稳定。 美国商务部数据显示，7月工厂订单环比增1.9%，预期为增2%，6月数值下修至 现货白银新消息:白银价格后市维持震荡行情 环比跌1.8%。7月工厂订单不及预期,粤国际微盘，但创九个月最大增幅，扭转此前连续两个月下跌颓势。不过值得注意的是，工厂订单同比走势不佳，连续21个月同比下跌。 上周五，里士满联储主席Lacker表示，美国经济似乎已经足够强劲，能够支持比当前明显要高的利率水平。除非在未来 综投网 几个月内新增就业显著放缓，否则支持美联储加息的因素越来越多。 Comex持仓方面，白银净多头头寸减持至74158手，为6月中以来最低
本月 薅羊毛 月初，陆续 状元理财称实控人挪用资金超千万 吴海生称系被股东 有投资者发现状元理财无法兑付，随后状元理财股东欧阳东发文指责公司大股东、实控人吴海生挪移资产超千万。吴海生则回应自己是“被股东”，相关签名系伪造，并且否认挪用状元理财平台资金。投资 综投网 者疑惑：该找谁还钱？目前部分状元理财的投资者已陆续来到北京试图维权，但尚未得到说法。北京海淀区的普天金服公司。门口贴上了“状元理财用户接待室”字样。 新京报记者 宓迪 摄北京海淀区的普天金服公司 状元理财：实控人挪用资金超千万 9月9日，P2P网贷平台状元理财发布一则《声明》，直指大股东吴海生挪用公司钱款，侵占投资人投资款，累计超过1000余万元，同时存在转移、隐匿公司印鉴等行为。《声明》更指吴
11月9号现货原油市场行情分析及操作建议 了解市场才能做好投资，不能盲目的跟风瞎投，首先来了解一下市场行情。 消息面： 北京时间周二(11月8日) 银行存款利息哪家高 19:00，2016年美国总统大选投票正式开始， 综投网 希拉里与特朗普也将迎来终极决战，究竟谁能问鼎白宫?油市三大月报未至，美国大选巅峰之夜，美元、原油能否双赢? 关注微信公众号微交易微盘：ywpshb 即可用微信炒白银和石化宝原油,银行存款利息哪家高! 11月8日，美国总统大选投票日!据开票结果显示，民主党总统候选人希拉里取得了第一个投票的8人小镇的“开门红”，而特朗普很 11月9号现货原油市场行情分析及操作建议 快追平拿下一个20人小镇。3座新罕布什尔小镇开票结果显示，特朗普获得32
许多人喜欢收藏 石油投资 ，有人收藏邮票，有人收藏纪念品,石油投资，有人收藏古董，还有喜欢收藏以前的纸币或是硬币。当某一版人民币停止发行或是流通使用后，其收藏价值也将逐渐上涨。 我国在上个世纪60年代开始发行使用的第三套人民币，目前早就停止流通使用了，如今第三套人民币已是收藏市场上的热门品种，而且第三套人民币价格也在逐渐上涨。那么，1972年5角价格是多少呢?我们来看看。 1972年5角价值分析 1972年5角有三种版别，一种是没有五星水印的1972年5角，一种是平版五星水印的1972年5角，还有一种是凸版五星水印的1972年5角，对于区分1972年5角是否有水印，只要将1972年5角放在光源下
2016年 房价走势 还剩下两个月不到的时间，同时今年经历了房价调控，楼 银行存款利息哪家高 市限购，有的地区房价暴涨而有些地区的房价暴跌。那么2017年我们又会经历些什么呢?17年的房价会跌吗? 有些人担心花光了继续刚刚买到称心如意的房子，又在担 房产投资 心2017年房价是否会降的问题，2017年房价一旦降低，他们就会觉得自己的房子贬值了，直接影响到自己的经济利益。到底2017年房价会不会降? 事实上，从远看来，如果宏观经济增长继续下滑，明年房价有有下滑希望。影响房价下降或上涨的因素有多方面，如通货膨胀、通货膨胀、国家政策等。 ，关于2017年房价走势问题，小编给大家总结了以下几个关注点： 第一、经济的逐步回暖必然带动房地
外行看热闹，内行看门道。但内行也不一定知道的也是有的。就股票来说，大盘走势就是磨人的 期货网上开户 小妖精。 大盘走势总是扑朔迷离，当投资者一致看好后市时，大盘突然”阴云密布”;当大家普遍认为还要深幅调整时，股指却再现&ldquo,期货网上开户;彩虹高挂”。不少投资者感到迷茫，不知如何操作波段。那投资者该如何操作波段呢?关于如何操作波段，接下来小编就介绍一些操作波段的技巧。 如何操作波段? 1、把握节奏，逢低介入。由于大盘处于反复筑底过程中，所以股指极不稳定，一有风吹草动便会出现恐慌性的抛盘。 2、注重轮动，精选个股。通过近段时期的市场观察，我们发现板块轮动这种模式，在市场中时常如海浪迭起，经久不
国家统计局昨日公布的数据显示，10月全国居民消费价格指数(CPI)同比增长2.1%，与预期持平，高於前月的1.9%;工业生产者出厂价 股票投资 格指数(PPI)同比增1.2%，好於预期的0.9%，9月为0.1%。中国10月CPI连续第二个月上涨，PPI则连续第十个月回升。分析师称，中国经济增长企稳，人行对通胀的担忧正逐渐加剧，未来货币政策或将进一步面临通胀回升的约束。 11月数据或再攀升 国家统计局城市司高级统计师余秋梅解读称，CPI涨幅比上月扩大0.2个百分点，主要原因是去年同期对比基数相对偏低。PPI涨幅扩大则是因为五大行业即煤炭开采和洗选业、黑色金属冶炼和压延加工、有色金属冶炼和压延加工、石
11月11日人民币兑换美元今日美元汇率走势分析 关注微信第一黄金网11月11日 回顾昨日在岸人民币对美元即期汇率跌逾20 贷款利率 0基点，盘中一度跌至6.8元附近。市场人士指出，市场对美联储加息预期持续升温，美元短期仍有继续升 11月11日人民币兑换美元今日美元汇率走势分析 值可能，人民币对美元贬值难言到头。不过，中国经济保持中高速增长、经常项目盈余稳定、外汇储备充裕的基本面没有改变，加上人民币入篮带来的积极影响，人民币汇率贬值压力仍然可控。关注微信公众号微交易微盘：ywpshb 即可用微信炒白银和石化宝原油! 6.8关口岌岌 2 可危 10日，人民币对美元汇率中间价设于6.7885元，较上一日下调53个基点,贷款利率，并刷新了2010年9月以来的
1980年2角硬币价格表：80版2角硬币收藏价值高? 最近越来越多的 理财方法大全 人开始收藏人民币的硬币和纸币了，特别是1980年版的2角硬币和纸币更是让收藏家和投资者们趋之若鹜。 1979年、1980 1980年2角硬币价格表：80版2角硬币收藏价值高? 年、1981年的五分硬币加上1980年的2分硬币和1981年的1分硬币，这五种硬币的总面值加起来不超过0.18元，但是在如今的硬币收藏市场上已经有被人要价600元一套了，一些珍惜的硬币品种甚至要价更高， 1980年版2角硬币纸币价格如何呢? 关注微信公众号：w 综投网 eipandaquan 手机也能炒白银原油，仅需8元即可参与，快来试试吧!推荐好友更多优惠等你来拿! 1980年2角硬币 在
2016合肥房价走势最新消息：合肥哪里房价 房价走势最新消息 不会跌? 如今，距离合肥正式出台限购政策已是一月有余，这期间合 最新房价排行榜 肥楼市的变化已在悄无声息中发生。从”鸡犬升天” 、各板块日光频现到如今的优惠重现、销售遇冷，合肥楼市可以说是开始大幅降温，房子没那么好卖了!那些被透支的利好、空头支票们 也慢慢开始显露真身了。 对于买房人来说，买房是一笔巨大的投资，除去满足自身的需求以外，最关心的就是房子抗不抗跌，保不保值?在合肥有几种类型的房子，无论市场行情好坏，这类房子都处在屹立不倒的地位。 那么在合肥究竟哪里最抗跌?在如今合肥楼市进入寒冬的情况下，为了大多数购房者最想知道的问题。今天小编就带你们看遍合肥，这些
得到可靠消息，《 投资理财问答 锦绣未央》由唐嫣、罗晋、吴建豪、毛晓彤、李心艾等演员主演，这是一部的古装传奇剧，即将于今晚首播。 关注微信号：cweipan 仅需8元参与炒白银、原油，快来试试吧 ,投资理财问答; 亡国公主一身两命 凤凰如何涅槃重生 南北朝年间，群雄逐鹿，烽烟四起，长年战事不断，百姓身处水深火热中，苦不堪言。少女心儿(唐嫣饰)本是出生北凉王族的无忧公主，曾过着万人宠爱、恣意随性的快乐日子，却因北魏元帅叱云南为抢战功，欺君罔上擅自出兵，致北凉上下一夜之间血流成河，而她亦从天之骄女跌落成沦落他乡的孤独少女。意外中，北魏尚书府遗弃在乡下的庶女李未央救了心儿，却又因掩护心儿而
苹果为什么要卖翻新机? 早在九年前，苹果就曾卖过翻新机。而如今九年后，苹果美国官方网站又重新开始销售翻 最新股票行情走势 新手机，而且价格比新款产品便宜15%。在专家看来，在承受着业绩和销量持续下滑的压力下，苹果此举也是迫于无奈，虽然售卖翻新机对于苹果来说也算是暴利的买卖，但未来在中国市场却未必行得通，更甚的是，这样压低姿态的商业模式还会对苹果造成品牌伤害。 售价比新品低15% 根据苹果美国官网显示的信息，目前，苹果只出售iPhone 6S和iPhone 6S Plus翻新机。北京商报记者观察到，苹果此次出售翻新机的价格比新款产品便宜了约15%，即100-120美元左右,最新股票行情走势。例如，16G
今日现货沥青重要数据分析 原油行情分析 20 今日现货沥青重要数据分析 2016年11月11日 16年11月11日 原油沥青技术分析： 昨天油价下跌逾1%，不过最基本的走势还是在预料之中的，白天小幅下跌后上方一路到笔者给出的做空短压力位 综投网 ，而后承压下行，中间也有一波小小的反弹，也正好给了我们继续去追空的机会。昨天公布的IEA月报可以很清楚的看出，欧佩克虽然有了冻产的协议，但在没有具体的实施措施的情况，产量仍创纪录，市场上原油供应过剩仍然是一个很大的问题。 关注微信公众号：weipandaquan 手机也能炒白银原油，仅需8元即可参与，快来试试吧!推荐好友更多优惠等你来拿! 美原油四小时图 从技术面上看四小时图，目前原油开盘有微幅上涨，交投于4
今日现货白银重要数据分析 2016年11月11日 白银行情分析及操作建议： 股票最新新闻 关注微信公众号：weipandaqu 今日现货白银重要数据分析 2016年11月11日 an 手机也能炒白银原油，仅需8元即可参与，快来试试吧!推荐好友更多优惠等你来拿! 白银四小时走势图来看，布林带开口，k线价格上穿布林带上轨，不过白银价格上涨幅度没有黄金价格迅猛，昨天已突破18.8美元直冲19美元回落，杜家升暂时建议先关注19美元的压力位。MACD指标不断向上运行，红色动能柱逐渐放量。综合来看，白银价格后市上涨空间较大,股票 综投网 最新新闻，操作上家升建议以低多为主。 白银操作建议： 1、建议18.3附近多，止损0.3美元，目标看18.8附近; 2、建议
近两年互联网直播大热，但是不少人人为 投资项目 现在的直播是虚假的繁荣，虚假的观看人数，虚假的工资。近日西安500吗名主播被拖欠工资，且直播一个月都没有签协议。这一片虚假的繁荣最后谁来买单? 这两年网络直播大热，受到很多年轻人的青睐，甚至有人把在直播平台当主播当做一种职业。可最近却有人在当主播的路上，掉进了”坑”里。 在帮某直播平台直播近1个月后，西安约500名主播不仅没有拿到承诺的底薪，甚至无法登录账号兑换直播获赠的礼物。主播经纪人”讨薪”近1个月，至今仍没有任何进展。 主播：直播1个月 始终没有签协议 荷包蛋(网络昵称)是西安一所高校的在校大学生，也是一名直播主播。9月中旬，荷包蛋得到一份
中装建设 新股中签号查询 002822新股中签号查询 中装建设 网贷薅羊毛 配号结果公布 中装建设002822新股中签号查询，中装建设中签号出炉。中装建设配号结果也在同一时间公布了，具体如下： 关注微信公众号：weipandaquan 手机也能炒白银原油，仅需8元即可参与，快来试试吧!推荐好友更多优惠等你来拿! 中装建设此次发行总数为7500万股，网上发行3000万股，发行市盈率21.35倍，申购代码：002822，申购价格：10.23元，单一帐户申购上限30000股，申购数量500股整数倍。 基本信息 股票代码002822股票简称中装建设申购代码002822上市地点深圳证券交易所发行价格(元/股)10.23
鉴于“意中人”紫博蓝网络科技（北京）股份有限公司（下称“紫博蓝”）拟开展新的资本运作，申科股份长达近一年的重组无奈以失败告终。申科 全景财经 股份重组终止今日公告显示，申科股份董事会通过相关议案，终止发行股份及支付现金购买资产并募集配套资金暨关联交易事项并撤回申请文件，同时，公司定于2 全景财经 月27日召开投资者说明会，就终止重大资产重组事项的相关情况与投资者进行沟通与交流。2月16日，申科股份收到紫博蓝发来的《关于终止重大资产重组事项的告知函》，鉴于本次重组事项操作时间过长，国内外经济环境出现了较大变化，紫博蓝拟开展新的资本运作，因此决定终止与申科股份的重组事宜。的确，申科股份本轮重组时间跨度漫长，且几易标的，其
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今日医药概念股3股涨停 2017年医保目录对外发布 国务院印发的《”十三五”国家药 全景财经 品安全规划》日前正式对外公布。《规划》提出，保证临床必需、用量不确定的低价药、抢救用药和罕见病用药的市场供应。这也意味着，这些”救命药”未来或不再难 石化宝 觅踪影。 分析认为，对于药企而言，新增或被剔出最新版医保目录的药品，未来市场表现最快一年内就可明显看出，一旦自家药品被纳入医保目录，快速放量成必然。2009版的医保目录就催生了数十 石化宝官网 个销售额过10亿的品种，新版目录的诞生也意味着我国1.5万亿的药品市场格局即将被重构。 综投网微信号：石化宝 1/2 1 2 下一页 尾
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